Fondamenti della meccanica atomica
possono poi ottenere infinite altre mediante le formule
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Queste condizioni si possono anche scrivere
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Lo stesso sviluppo si può ottenere in una forma più comoda usando le autofunzioni (29), che si possono raccogliere nell'unica formula
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Nel caso che la f(x, 0) sia una funzione pari (o dispari) si possono adoperare le formule (53'), (54'), (53"), (54"), che divengono:
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); invece se i coefficienti non soddisfano la condizione anzidetta, possono esistere degli integrali con singolarità di altro tipo, o che divengano del tutto
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dalle leggi della rifrazione, che si possono compendiare in quel principio variazionale che, nel caso delle onde luminose, prende il nome di principio di
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Considerazioni analoghe si possono fare per l'assorbimento. (v. anche § 43 p. III).
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In particolare, si possono determinare le in modo da costituire un piccolo gruppo d'onde, e allora si trova che questo si muove di moto alternativo
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Si noti l'analogia tra le formule (213) e (215), che si possono considerare inverse l'una dell'altra, e nelle quali le funzioni e hanno parti
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e poichè , si conclude che le sole lunghezze d'onda che possono dar luogo ad onde stazionarie sono quelle esprimibili con la formula
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determinazione delle frequenze proprie, o di risonanza, per le quali si possono stabilire onde stazionarie nell'interno della cavità, e conduce sempre a livelli
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Essi possono anche venir definiti mediante la derivata l-esima dell'espressione : difatti si ha
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D'altra parte anche è, al pari di , un polinomio di grado n': quindi essi possono differire al più per un fattore costante, che indicheremo con
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Esporremo ora il metodo di Wentzel e Brillouin, riferendoci al caso unidimensionale, al quale si possono ricondurre anche problemi più generali
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nello studio della meccanica atomica le soddisfano, e quindi possono ad essi applicarsi le condizioni di Sommerfeld che ora enunceremo.
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) delle componenti X, Y, Z del momento corrispondente ad una data riga, si possono trarre conclusioni sullo stato di polarizzazione della radiazione
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Si possono inoltre definire in modo ovvio le operazioni di somma, differenza, ecc.
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Si possono definire delle operazioni di combinazione tra operatori lineari analoghe alle operazioni di somma, differenza, ecc. con cui si possono
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Se esiste l'inverso di , si possono definire le potenze di ad esponente negativo, ponendo
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Definite le potenze di un o. l. , si possono definire altri o. l. detti funzioni di esso nel modo seguente. Sia F(a) il simbolo di una funzione
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Gli elementi di questa matrice si possono calcolare, osservando che rappresenta la componente m-esima del vettore e quindi (v. form. (8)):
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I coefficienti costituiscono una doppia infinità (discreta) di numeri (generalmente complessi), che si possono disporre in uno specchio (matrice) di
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con i coefficienti c arbitrari. Naturalmente, alle si possono sostituire p loro combinazioni lineari, ortogonali tra loro (ciò si dimostra come al
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(1) Si considera qui, per semplicità di scrittura, il caso di valori discreti, ma le G' possono anche costituire un sistema continuo, come p. es
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può dare un significato alle scritture XY, YX, ma solo a . Con procedimento analogo si possono definire i prodotti simmetrizzati di quanti si vogliano
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dove Pk sarà ottenuta dalla P integrandola rispetto a tutte le coordinate, tranne xk, yk, zk, e per tutti i valori che quelle coordinate possono
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È questo il solo caso in cui la P è determinata dalla conoscenza delle Pk. Si noti che le particelle possono non essere statisticamente indipendenti
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considerandola solo come funzione di x, in serie di queste autofunzioni: i coefficienti sono naturalmente funzioni di x (e si possono perciò indicare
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Essendo l' hamiltoniana della forma , si possono applicare le (111), (112) e si trova cosi
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propriamente dette, perchè le λ si possono misurare direttamente con grandissima precisione, talora superiore a 1 : 1.000.000, e basta prenderne il
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(1) I livelli possono anche essere raggruppati, tutti o in parte, in multipletti o in livelli multipli: ciò non muta nulla alle formule seguenti
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ma a . Le si possono chiamare le autofunzioni di approssimazione d'ordine zero.
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§ precedente) con la condizione di normalizzazione di , e si trova anche qui che si possono prendere nulli.
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Gli elementi diagonali restano arbitrari (purchè reali) e si possono prendere nulli.
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rappresentano gli elementi della «matrice di perturbazione», e si possono anche scrivere, in virtù della (219),
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Infine, in molti casi, pur non essendo possibile rappresentare i termini con delle formule semplici, si possono tuttavia scrivere le frequenze delle
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e si possono quindi prendere come componenti di j le espressioni
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(1) E precisamente per tutti i valori di N multipli di 4 : tali soluzioni però si possono ricondurre a quella, per N = 4.
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Quanto alle quattro matrici , si possono prendere le seguenti, che, come si verifica, sono hermitiane e soddisfano la (266'):
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: allora le quattro equazioni precedenti si possono riassumere nelle formule:
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In questa sommatoria doppia, i sei termini in cui si possono riunire due a due nel modo seguente. Si considerino p. es. i due termini : in virtù
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Nel primo caso le equazioni danno (, mentre restano arbitrarie (salvo l'ortogonalità e la normalizzazione) e si possono prendere uguali a 1 e a 0
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possono fissare arbitrariamente due delle quattro a, e ricavare le altre due: le (293) hanno quindi due soluzioni linearmente indipendenti, che
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Gli operatori si possono scrivere in forma più simmetrica introducendo in luogo di t la variabile
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(304) e (305) si possono compendiare nella formula:
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in modo unico, perchè allo stesso campo elettromagnetico si possono attribuire (come si verifica subito) anche i potenziali
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, nell'evoluzione di un dato sistema possono presentarsi stati di una sola delle due classi (come si dirà più avanti, per gli elettroni e i protoni sono gli
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Allora e si possono esprimere mediante queste nuove combinazioni, e divengono:
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Il metodo di Schrödinger prende le mosse dall'osservazione (che risale ad HAMILTON) che le leggi classiche della meccanica del punto si possono
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Le relazioni di ortogonalità e quelle di normalizzazione si possono esprimere con una formula unica introducendo il simbolo, di uso frequente e assai
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Accademia della crusca
